Análisis algebraico

Code

import sympy as sp
from funciones import x, y, u, v, coeficientes, clasificar_conica, angulo_rotacion, rotar_ecuacion

ecuacion = 5*x**2 - 6*x*y + 5*y**2 - 8

Pruebas de las funciones

Antes de usar nuestras funciones, las probamos con cónicas cuya respuesta ya conocemos:

Code

assert clasificar_conica(1, 0, 1) == "elipse"        # x² + y² = r²
assert clasificar_conica(0, 0, 1) == "parábola"      # y² = 4px
assert clasificar_conica(1, 0, -1) == "hipérbola"    # x² - y² = 1
assert clasificar_conica(0, 1, 0) == "hipérbola"     # xy = 4
assert angulo_rotacion(1, 0, 4) == 0                 # Sin término xy
assert angulo_rotacion(0, 1, 0) == sp.pi / 4         # xy = 4: 45°
assert angulo_rotacion(7, -6*sp.sqrt(3), 13) == sp.pi / 6
print("Todas las pruebas pasaron ✅")

Todas las pruebas pasaron ✅

Clasificación

Code

A, B, C, D, E, F = coeficientes(ecuacion)
discriminante = B**2 - 4*A*C
print("A =", A, " B =", B, " C =", C, " D =", D, " E =", E, " F =", F)
print("B² - 4AC =", discriminante, "→", clasificar_conica(A, B, C))

A = 5  B = -6  C = 5  D = 0  E = 0  F = -8
B² - 4AC = -64 → elipse

Como \(B^2 - 4AC = -64 < 0\), la cónica es una elipse.

Rotación de ejes

El ángulo que elimina el término \(xy\) cumple \(\tan 2\theta = \frac{B}{A - C}\). Como \(A = C\), el denominador es cero y \(2\theta = 90°\):

Code

theta = angulo_rotacion(A, B, C)
print("θ =", theta, "=", sp.deg(theta), "°")

θ = pi/4 = 45 °

Con \(x = u\cos\theta - v\sin\theta\) y \(y = u\sin\theta + v\cos\theta\):

Code

rotada = rotar_ecuacion(ecuacion, theta)
print(rotada, "= 0")

2*u**2 + 8*v**2 - 8 = 0

Forma canónica

Code

canonica = sp.expand((rotada + 8) / 8)
print(canonica, "= 1")

u**2/4 + v**2 = 1

\[\frac{u^2}{4} + \frac{v^2}{1} = 1\]

Elementos

Code

a, b = 2, 1
c = sp.sqrt(a**2 - b**2)
R = sp.Matrix([[sp.cos(theta), -sp.sin(theta)], [sp.sin(theta), sp.cos(theta)]])

def a_xy(punto):
    """Convierte un punto de las coordenadas (u, v) a (x, y)."""
    return tuple(sp.simplify(R * sp.Matrix(punto)))

print("c =", c, "  e =", c / a)
print("Vértices:", a_xy((a, 0)), a_xy((-a, 0)))
print("Covértices:", a_xy((0, b)), a_xy((0, -b)))
print("Focos:", a_xy((c, 0)), a_xy((-c, 0)))

c = sqrt(3)   e = sqrt(3)/2
Vértices: (sqrt(2), sqrt(2)) (-sqrt(2), -sqrt(2))
Covértices: (-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2) (sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2)
Focos: (sqrt(6)/2, sqrt(6)/2) (-sqrt(6)/2, -sqrt(6)/2)

Elemento	En \((u, v)\)	En \((x, y)\)
Centro	\((0, 0)\)	\((0, 0)\)
Vértices	\((\pm 2, 0)\)	\((\sqrt{2}, \sqrt{2})\), \((-\sqrt{2}, -\sqrt{2})\)
Covértices	\((0, \pm 1)\)	\(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\), \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
Focos	\((\pm\sqrt{3}, 0)\)	\(\left(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}\right)\), \(\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{2}\right)\)
Excentricidad	\(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Eje focal	Eje \(u\)	La recta \(y = x\)